Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+1定義在R上．
（1）若f（x）可以表示為一個(gè)偶函數(shù)g（x）與一個(gè)奇函數(shù)h（x）之和，求函數(shù)g（x），h（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），設(shè)h（x）=t，把F（x）表示為t的函數(shù)p（t）；
（3）若關(guān)于x的方程F（x）=m²-m+2在x∈[1，2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先假設(shè)滿足條件，利用奇（偶）函數(shù)的關(guān)系式和方程思想，求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，再由條件證明對(duì)應(yīng)函數(shù)的奇偶性，最后把函數(shù)f（x）的解析式代入求解；
（2）把2x-

1

2x

=t兩邊平方后整體代入g（2x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入函數(shù)F（x）解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（3）根據(jù)h（x）在所給區(qū)間上的單調(diào)性，求出t的范圍，由（2）求出的解析式對(duì)F（x）=m²-m+2進(jìn)出化簡(jiǎn)，求出m關(guān)于t的關(guān)系式，再由t的范圍和函數(shù)的單調(diào)性，求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域，即m的取值范圍．

解答：解：（1）假設(shè)f（x）=g（x）+h（x）①，其中g(shù)（x）偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，
則有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①、②解得g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

．（2分）
∵f（x）定義在R上，∴g（x），h（x）都定義在R上．
∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g(x)，h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-h(x)．
∴g（x）是偶函數(shù)，h（x）是奇函數(shù)，
把f（x）=2^x+1代入求得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

=

2x+1+2-x+1

2

=2x+

1

2x

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x+1-2-x+1

2

=2x-

1

2x

．（6分）
（2）由2x-

1

2x

=t，則t∈R，平方得t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，
∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，代入F（x）的解析式得，
p（t）=t²+2mt+m²-m+1．（10分）
（3）∵t=h（x）=2x-

1

2x

在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，∴

3

2

≤t≤

15

4

．（12分）
由F（x）=m²-m+2得t²+2mt-1=0
∴m=

1

2

(

1

t

-t)，令?（t）=

1

2

(

1

t

-t)(t∈[

3

2

，

15

4

])
由題意得，m的取值范圍就是函數(shù)?（t）的值域．（14分）
∵

1

t

，-t在t∈[

3

2

，

15

4

]上均為減函數(shù)，
故?（t）在t∈[

3

2

，

15

4

]上單調(diào)遞減，而?(

3

2

)=-

5

12

?(

15

4

)=-

209

120

，
∴函數(shù)?（t）的值域?yàn)?span id="7jw2c7j" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-

209

120

，-

5

12

]
即m的取值范圍為[-

209

120

，-

5

12

]（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是有關(guān)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用的綜合題，利用函數(shù)奇偶性的關(guān)系式列出方程求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，求函數(shù)的值域主要利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性進(jìn)行求解，考查了分析問題和解決問題的能力．