如圖,已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
2
,且AC⊥BC,點D是A1B1中點.
(1)求證:平面AC1D⊥平面A1ABB1;
(2)若直線AC1與平面A1ABB1所成角的正弦值為
10
10
,求三棱錐A1-AC1D的體積.
考點:直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關系與距離
分析:(1)根據(jù)已知條件,利用直線與平面垂直的判定定理,能推導出C1D⊥面A1ABB1,由此能夠證明平面AC1D⊥平面A1ABB1
(2)由(1)可知C1D⊥平面A1ABB1,所以AC1與平面A1ABB1所成的角為∠C1AD,由此利用已知條件能求出三棱錐A1-AC1D的體積.
解答: (1)證明:在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵AA1⊥面A1B1C1,C1D?面A1B1C1,
∴C1D⊥AA1,
∵AC=BC=
2
,∴A1C1=B1C1=
2
,
∵點D是A1B1中點,∴C1D⊥A1B1,
∵AA1∩A1B1=A1,
∴C1D⊥面A1ABB1,
∵C1D?面A1B1C1,
∴平面AC1D⊥平面A1ABB1.…(6分)
(2)由(1)可知C1D⊥平面A1ABB1,
∴AC1與平面A1ABB1所成的角為∠C1AD,
在RT△C1AD中,由sin∠C1AD=
C1D
AC1
=
10
10
,
A1A=2
2
,
VA1-AC1D=VC1-A1AD
=
1
3
SA1ADC1D=
2
3
.…(12分)
點評:本題考查平面與平面垂直的證明,考查三棱錐體積的求法,解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng),注意化空間問題為平面問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

直線y=mx+(2m+1)恒過一定點,則此點是(  )
A、(1,2)
B、(2,1)
C、(-2,1)
D、(1,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

動圓P過定點F(1,0)且與直線x=-1相切,圓心p的軌跡為曲線C,過F作曲線C兩條互相垂直的弦AB,CD,設AB,CD的中點分別為M、N.
(1)求曲線C的方程;
(2)求證:直線MN必過定點;
(3)分別以AB、CD為直徑作圓,求兩圓相交弦中點H的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3處取得極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在點A(1,16)處的切線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行,速度為15
2
海里/小時,在甲船出發(fā)的同時,乙船從A島正南方向30海里處的B島出發(fā),朝北偏東θ(tanθ=
3
4
)
的方向作勻速直線航行,速度為m海里/小時.
(1)求2小時后,甲船的位置離B島多遠?
(2)若兩船能恰好在某點M處相遇,求乙船的速度.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某地機動車駕照考試規(guī)定:每位考試者在一年內(nèi)最多有3次參加考試的機會,一旦某次考試通過,便可領取駕照,不再參加以后的考試,否則就一直考到第三次為止,如果小王決定參加駕照考試,設他一年中三次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8.
(Ⅰ)求小王在一年內(nèi)領到駕照的概率;
(Ⅱ)求在一年內(nèi)小王參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

成都七中為綠化環(huán)境,移栽了銀杏樹2棵,梧桐樹3棵.它們移栽后的成活率分別為
2
3
,
1
2
且每棵樹是否存活互不影響,求移栽的5棵樹中:
(1)銀杏樹都成活且梧桐樹成活2棵的概率;
(2)成活的棵樹ξ的分布列與期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知圓C1:(x+
6
2
2+y2=
25
8
,圓C2:(x-
6
2
2+y2=
1
8
,動圓P與已知兩圓都外切.
(1)求動圓的圓心P的軌跡E的方程;
(2)直線l:y=kx+1與點P的軌跡E交于不同的兩點A、B,AB的中垂線與y軸交于點N,求點N的縱坐標的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A(-1,0,2),B(2,0,-4),則A、B兩點的中點坐標為
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案