Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx；
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解x₁、x₂，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）這個(gè)方程為絕對(duì)值方程，可以利用絕對(duì)值的代數(shù)意義去絕對(duì)值符號(hào)，再分情況解一元二次方程即可，最后方程的解集為兩種情況的并集．
（Ⅱ）先根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義，把函數(shù)f（x）化為分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在（0，1）上的解析式為一次函數(shù)，可判斷，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）為單調(diào)函數(shù)，所以與x軸的交點(diǎn)至多有一個(gè)，即f（x）=0在（0，1]上至多一個(gè)解．而當(dāng)方程f（x）=0的兩個(gè)解若都在（1，2）上，則x₁x₂=-

1

2

，與兩根都屬于（1，2）矛盾，所以判斷方程f（x）=0在（0，2）上的兩個(gè)解x₁、x₂，一個(gè)在（0，1]，一個(gè)在（1，2）再根據(jù)兩種情況的解析式求出k值，解出范圍，最后，兩種情況求出的k的范圍取交集．

解答：（I）解：當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=|x²-1|+x²+2x=0．
①當(dāng)x²-1≥1時(shí)，即x≥1或x≤-1時(shí)，方程化為2x²+2x-1=0，解得x=

-1± 3

2

．因?yàn)?＜

-1+ 3

2

＜1，舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②當(dāng)x²-1＜0時(shí)，即-1＜x＜1，方程化為1+2x=0，解得x=-

1

2

，
由①②得，方程f（x）=0的解為x=

-1- 3

2

或x=

1

2

（II）解：不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
因?yàn)閒（x）=

2x2+kx-1    |x|＞1 kx+1           x|≤1

所以f（x）在（0，1]是單調(diào)遞函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個(gè)解，
若x₁，x₂∈（1，2），則x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符合題意，因此，x1∈(0，1]，x2∈（1，2）．
由f（x₁）=0，得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0，得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1．
故當(dāng)-

7

2

＜k＜-1時(shí)，f（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了含絕對(duì)值的方程的解法，以及方程根的判斷，做題時(shí)要善于借助函數(shù)的單調(diào)性與韋達(dá)定理．