Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣kx且f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意f′（x）=x2﹣（k+1）x，

因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)，

所以f′（x）=x2﹣（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，

又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，

當(dāng)k=1時(shí)，f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上單增，符合題意．

所以k的取值范圍為k≤1．

（2）解：設(shè) ，

h′（x）=x2﹣（k+1）x+k=（x﹣k）（x﹣1），

令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，

①當(dāng)k=1時(shí)，h′（x）=（x﹣1）2≥0，h（x）在R上遞增，顯然不合題意；

②當(dāng)k＜1時(shí)，h（x），h′（x）隨x的變化情況如下表：

由于 ＞0，欲使f（x）與g（x）圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．

故需 即（k﹣1）（k2﹣2k﹣2）＜0，

所以 ，解得 ．

綜上，所求k的范圍為

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)閒（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，所以得到導(dǎo)函數(shù)在（2，+∞）上恒大于等于0，列出k與x的不等式，由x的范圍即可求出k的取值范圍；（2）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中確定出h（x）的解析式，求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出此時(shí)x的值，然后根據(jù)（1）求出的k的范圍，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性求出函數(shù)的極小值和極大值，判斷得到極小值大于0，所以要使函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即要極大值也要大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．