已知△ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，關(guān)于x的不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若c=
7
2
，△ABC的面積S=
3
2
3
，求當(dāng)角C取最大值時(shí)a+b的值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷出判別式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范圍，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得C的最大值．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中求得C，利用三角形面積公式求得ab的值，進(jìn)而代入余弦定理求得a+b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵不等式x2cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴
cosC＞0
△≤0
，即
cosC＞0
16sin2C-24cosC≤0
，
即
cosC＞0
cosC≤-2或cosC≥
1
2
，
故cosC≥
1
2
，∴角C的最大值為60°．
（Ⅱ）當(dāng)C=60°時(shí)，S△ABC=
1
2
absinC=
3
4
ab=
3
2
3
，∴ab=6，
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-2ab-2abcosC，
∴(a+b)2=c2+3ab=
121
4
，
∴a+b=
11
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，解不等式問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A=60°，a=
15
，c=4，那么sinC=
2
5
5
2
5
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A（4，2），B（1，8），C（-1，8）．
（1）求AB邊上的高所在的直線方程；
（2）直線l∥AB，與AC，BC依次交于E，F(xiàn)，S△CEF：S△ABC=1：4．求l所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2，b=1，C=60°，則邊長c=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，a=2
3
，若
m
=(-cos
A
2
，sin
A
2
)，
n
=(cos
A
2
，sin
A
2
)滿足
m
•
n
=
1
2
．（1）若△ABC的面積S=
3
，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對(duì)任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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