Question

19．已知圓C：（x-1）²+（y-4）²=r²（r＞0）
（Ⅰ）若直線x-y+5=0與圓C相交所得弦長為$2\sqrt{2}$，求半徑r；
（Ⅱ）已知原點O，點A（2，0），若圓C上存在點P，使得$|PO|=\sqrt{2}|PA|$，求半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C到直線x-y+5=0的距離，根據直線x-y+5=0與圓C相交所得弦長為$2\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求半徑r；
（Ⅱ）由$|PO|=\sqrt{2}|PA|$可得（x-4）²+y²=8，所以只需要圓C和圓（x-4）²+y²=8有公共點．

解答 解：（Ⅰ）C到直線x-y+5=0的距離為d=$\frac{|1-4+5|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，直線與圓相交所得弦長為$2\sqrt{2}$，所以$r=\sqrt{2+2}=2$．
（Ⅱ）設P（x，y），由$|PO|=\sqrt{2}|PA|$可得（x-4）²+y²=8，
所以只需要圓C和圓（x-4）²+y²=8有公共點，兩圓圓心距離為5，
所以$5-2\sqrt{2}≤r≤5+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與圓、圓與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．