Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一點，P是AD的延長線與A₁C₁的延長線的交點，且PB₁∥平面BDA₁
（Ⅰ）求證：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面B₁DP的距離．

Answer 1

分析：（I）°由題意及圖形建立空間直角坐標系，寫出相應(yīng)點的坐標，利用AC∥PC₁，建立點D的汗有未知數(shù)x的坐標，利用PB₁∥平面BDA₁建立x的方程，解出即證出所求；
（II）由題意及（I）所建立的坐標系，利用平面法向量與二面角的大小之間的關(guān)系求出二面角的大小；
（III）利用空間向量中求帶到平面的距離公式直接求出點到平面的距離．

解答：解：（I）由題意作出如下圖形并建立圖示的空間直角坐標系：
以A₁點為原點，A₁B₁，A₁C₁，A₁A所在的直線分別為x，y，z軸，
建立圖示的空間直角坐標系，則A₁（0，0，0）B₁（1，0，0）C₁（0，1，0）B（1，0，1）
（I）設(shè)C₁D=x，
∵AC∥PC₁
∴

C1P

AC

=

C1D

CD

=

x

1-x

可設(shè)D（0，1，x），則P(0，1+

x

1-x

，0)，
∴

A1B

=(1，0，1)   

A1D

=（0，1，x），

B1P

=(-1，1+

x

1-x

，0)   
設(shè)平面BA₁D的一個法向量為

n

=（a，b，c），
則

n • A1B =0 n • A1D =0

?

a+c=0 b+cx=0

  令a=1，則

n

=（1，x，-1）∵PB₁∥平面BA₁D
∴

n •

B1P

=1×(-1)+x•(1+

x

1-x

)+(-1)×0=0?x=

1

2

；
故CD=C₁D．

（II）由（I）知，平面BA₁D的一個法向量為

n

=(1，

1

2

，-1) 
又

m

=（1，0，0）為平面AA₁D的一個法向量，∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m|

=

2

3

．
故二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值為

2

3

．
（III）∵

PB1

=(1，-2，0)，

PD

=(0，-1，

1

2

)  
設(shè)平面B₁DP的一個法向量為

p

=（x，y，z），
則

p • PB1 =0 p • PD =0

?

x-2y=0 -y+ z 2 =0

 
令z=1，∴

p

=(1，

1

2

，1) 
又

DC

=(0，0，

1

2

)∴C到平面B₁PD的距離d=

| DC • p |

|p |

=

1

3

．

點評：此題重點考查了利用空間向量的方法求點到平面的距離和二面角的大小，還考查了利用方程的思想求解坐標中所設(shè)的變量的大�。�