Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，A、B分別為橢圓長軸右端點與短軸上端點，坐標原點O到直線AB的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過P（0，2）作斜率為k的直線交橢圓于不同的兩點M、N，設，記，求證：（6f（λ）-32）k²=-3f（λ）；
（Ⅲ）求k與λ的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求直線AB的方程，利用坐標原點O到直線AB的距離為，建立方程，根據(jù)橢圓（a＞b＞0）的離心率，可建立另一方程，聯(lián)立即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）將l：y=kx+2與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由得，從而可得，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）利用判別式大于0，可確定k的范圍，利用，可求λ的范圍．
解答：（Ⅰ）解：∵A、B分別為橢圓長軸右端點與短軸上端點，
∴直線AB的方程為：
∴坐標原點O到直線AB的距離為
∵坐標原點O到直線AB的距離為
∴①
∵橢圓（a＞b＞0）的離心率，
∴②
由①②，可得a²=2，b²=1
∴橢圓方程為；…（4分）
（Ⅱ）證明：依題意得l：y=kx+2與橢圓方程聯(lián)立消去y得（1+2k²）x²+8kx+6=0
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由得x₁=λx₂，∴…（6分）
∴
∴得證…（8分）
（Ⅲ）解：由（1+2k²）x²+8kx+6=0得△=（8k）²-4×6（1+2k²）＞0，
∴，即或…（10分）
∵，∴…（11分）
∴，∴且λ≠1…（12分）
綜上所述：，…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查參數(shù)的范圍的確定，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理解題．