已知橢圓(a>b>0)的離心率,A、B分別為橢圓長軸右端點與短軸上端點,坐標原點O到直線AB的距離為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過P(0,2)作斜率為k的直線交橢圓于不同的兩點M、N,設,記,求證:(6f(λ)-32)k2=-3f(λ);
(Ⅲ)求k與λ的范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)先求直線AB的方程,利用坐標原點O到直線AB的距離為,建立方程,根據(jù)橢圓(a>b>0)的離心率,可建立另一方程,聯(lián)立即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)將l:y=kx+2與橢圓方程聯(lián)立消去y得(1+2k2)x2+8kx+6=0,設M(x1,y1)、N(x2,y2),由,從而可得,即可證得結(jié)論;
(Ⅲ)利用判別式大于0,可確定k的范圍,利用,可求λ的范圍.
解答:(Ⅰ)解:∵A、B分別為橢圓長軸右端點與短軸上端點,
∴直線AB的方程為:
∴坐標原點O到直線AB的距離為
∵坐標原點O到直線AB的距離為

∵橢圓(a>b>0)的離心率

由①②,可得a2=2,b2=1
∴橢圓方程為;…(4分)
(Ⅱ)證明:依題意得l:y=kx+2與橢圓方程聯(lián)立消去y得(1+2k2)x2+8kx+6=0
設M(x1,y1)、N(x2,y2),由得x1=λx2,∴…(6分)

得證…(8分)
(Ⅲ)解:由(1+2k2)x2+8kx+6=0得△=(8k)2-4×6(1+2k2)>0,
,即…(10分)
,∴…(11分)
,∴且λ≠1…(12分)
綜上所述:,…(13分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查參數(shù)的范圍的確定,解題的關鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理解題.
練習冊系列答案
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已知橢圓=1(a>b>0)與雙曲線=1(m>0,n>0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是(    )

A.                    B.               C.                 D.

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已知橢圓(a>b>0),點在橢圓上。

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【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點間距離公式等基礎知識. 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.

 

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已知橢圓(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓有相同的離心率,斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1),與橢圓C交于不同兩點A、B.

   (1)求橢圓C的標準方程;

   (2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時,求k的取值范圍.

 

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年河北省邯鄲市高二上學期期末考試數(shù)學理卷 題型:解答題

(本小題滿分分)

(普通高中)已知橢圓(a>b>0)的離心率,焦距是函數(shù)的零點.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線與橢圓交于、兩點,,求k的值.

 

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