Question

點F₁，F₂是橢圓C的

x2

4

+

y2

3

=1左右焦點，過點F₁且不與x軸垂直的直線交橢圓于P，Q兩點．
（1）若PF₂⊥QF₂，求此時直線PQ的斜率k；
（2）左準線l上是否存在點A，使得△PQA為正三角形？若存在，求出點A，不存在說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設直線PQ為y=k（x+1），聯立橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出PF₂⊥QF₂時直線PQ的斜率k．
（2）記PQ的中點為M，要使得PQA為正三角形，當且僅當點A在PQ的垂直平分線上，且|MA|=

3

2

|PQ|，由此推導出

3

2

＞1，所以左準線l上不存在點A，使得△PQA為正三角形．

解答： 解：（1）設直線PQ為y=k（x+1），
聯立橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
設點P（x₁，kx₁+k），Q（x₂，kx₂+k），
則有x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
又PF₂⊥QF₂，得

PF2

•

QF2

=0，
即有(k2-1)(x1+x2)+(k2+1)x1x2+k2+1=0，
整理得7k2=9，k=±

3 7

7

（2）記PQ的中點為M，要使得PQA為正三角形，
當且僅當點A在PQ的垂直平分線上，
且|MA|=

3

2

|PQ|，
作MM₁⊥l于M₁，則

3

2

|PQ|＞|MM1|，
根據第二定義，得|MM1|=

|PQ|

2e

=|PQ|，
則有

3

2

＞1，顯然不成立，
故左準線l上不存在點A，使得△PQA為正三角形．

點評：本題考查直線斜率的求法，考查左準線上是否存在使得三角形為正三角形的點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．