已知向量
m
=(cosx，-1)，向量
n
=(
3
sinx，-
1
2
)，函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，a=1，c=
3
，且f（A）恰是f（x）在[0，
π
2
]上的最大值，求A，b和△ABC的面積．
分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式，并且結(jié)合三角函數(shù)的降次公式和輔助角公式化簡，得f（x）=sin（2x+
π
6
）+2，再結(jié)合三角函數(shù)的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期T；
（II）根據(jù)（I）的表達式并且A為銳角，得當A=
π
6
時，f（x）有最大值3，結(jié)合余弦定理和題中數(shù)據(jù)列式，解出b=1或b=2，最后利用正弦定理可得△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵
m
+
n
=（cosx+
3
sinx，-
3
2
）
∴（
m
+
n
）•
m
=cosx（cosx+
3
sinx）+
3
2
=
1
2
（1+cos2x）+
3
2
sin2x+
3
2
…（2分）
∴f（x）=
1
2
（1+cos2x）+
3
2
sin2x+
3
2
=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x+2=sin（2x+
π
6
）+2…（5分）．
∴f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+
π
6
）+2
∵A為銳角，
π
6
＜2A+
π
6
＜
7π
6

∴當2A+
π
6
=
π
2
時，即A=
π
6
時，f（x）有最大值3，…（8分）
由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，
∴1=b2+3-2×
3
×b×cos
π
6
，∴b=1或b=2，…（10分）
∵△ABC的面積S=
1
2
bcsinA
∴當b=1時，S=
1
2
×1×
3
×sin
π
6
=
3
4
；當當b=2時，S=
1
2
×2×
3
×sin
π
6
=
3
2
．…（12分）
綜上所述，得A=
π
6
，b=1，S△ABC=
3
4
或A=
π
6
，b=2，S△ABC=
3
2
．
點評：本題是一道三角函數(shù)綜合題，著重考查了運用正余弦定理解三角形、三角函數(shù)的周期性及其求法、三角恒等變形和平面向量數(shù)量積的運算等知識點，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cos θ，sin θ)和
n
=(
2
-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|
m
+
n
|=
8
2
5
，求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)
m
∥
n
且α∈(-
π
2
，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosωx，sinωx)，
n
=(cosωx，
3
cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象的一條對稱軸是x=
π
6
，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)，
m
與
n
為共線向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求
sin2α
sinα-cosα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．

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