Question

關(guān)于x的方程x³+|3x-a|-2=0在（0，2）上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的范圍為

（2，4）

．

Answer 1

分析：將方程x³+|3x-a|-2=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)y=x³-2的圖象與折線y=-|3x-a|的位置關(guān)系研究．

解答：解：方程x³+|3x-a|-2=0化為：
方程x³-2=-|3x-a|，
令 y=x³-2，y=-|3x-a|，
y=-|3x-a|表示過(guò)斜率為過(guò)點(diǎn)（

a

3

，0）的折線直線系，分別畫(huà)出它們的圖象，如圖．
①折線中的直線y=3x-a過(guò)曲線y=x³-2與y軸的交點(diǎn)A（0，-2）時(shí)有a=2，
②折線中的直線y=3x-a與曲線y=x³-2相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)B（m，n），（m＞0）．
由于y′=3x²，則切線的斜率k=3m²，
且3m²=3，⇒m=1，
得切點(diǎn)坐標(biāo)B（1，-1），代入折線y=3x-a得：a=4，
結(jié)合圖象得，若關(guān)于x的方程x³+|3x-a|-2=0在（0，2）上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的范圍為 （2，4）
故答案為：（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，解答關(guān)鍵是利用直線與曲線的位置關(guān)系，要注意導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．