Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（I）試判斷并證明f（x）的奇偶性；
（II）試判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（III）若f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0對(duì)所有的θ∈[0，

π

2

]均成立，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x₁=x，x₂=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)．
（II）在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，再比較f（x₁）和f（x₂）的大小，從而得出：f（x）是增函數(shù)；
（III）根據(jù)f（x）為R上的增函數(shù)也是奇函數(shù)，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0對(duì)所有的θ均成立可轉(zhuǎn)化成cos2θ-3＞2mcosθ-4m對(duì)所有的θ∈[0，

π

2

]均成立，然后利用分離法即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．對(duì)于任意x₁，x₂∈R，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．令x₁=x₂=1，可求f（1）；再賦值可求f（-1）=0，進(jìn)而可求f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)；

解答：解：（I）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=0得f（0）=0．
再令x₁=x，x₂=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為R上的奇函數(shù)．
（II）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0．∴f（x₂-x₁）＞0
由f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（III）∵f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0，∴f（cos2θ-3）＞-f（4m-2mcosθ）
∵f（x）為R上的奇函數(shù)，，即f（-x）=-f（x），∴f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m）
又∵f（x）為R上的增函數(shù)，cos2θ-3＞2mcosθ-4m對(duì)所有的θ∈[0，

π

2

]均成立，2cos²θ-4＞2m（cosθ-2）恒成立，
又∵cosθ-2＜0，
∴m＞

cos2θ-2

cosθ-2

恒成立，
又∵

cos2θ-2

cosθ-2

=

cos2θ-4+2

cosθ-2

=cosθ-2+

2

cosθ-2

+4，又θ∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosθ≤1，∴cosθ-2＜0，
∴cosθ-2+

2

cosθ-2

+4≤4-4

2

當(dāng)且僅當(dāng)cosθ-2=

2

cosθ-2

即cosθ=2-

2

時(shí)取等號(hào)．
∴[

cos2θ-2

cosθ-2

]max=4-2

2

∴m＞4-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．