已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線l過點(diǎn)P且與C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4
3
時(shí),求直線l的方程;
(2)求過點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)Q的軌跡方程.
分析:(1)分類討論,利用直線與圓相切,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,即可得到結(jié)論;
(2)利用P(0,5),C(-2,6)滿足:
PQ
CQ
,化簡即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為:x=0,
由y2-12y+24=0得:y=6±2
3
,滿足|MN|=4
3

則l的方程為:x=0;
②設(shè)l:y=kx+5即:kx-y+5=0
∵|MN|=4
3
,圓C:(x+2)2+(y-6)2=16
|-2k-6+5|
k2+1
=2

∴k=
3
4

∴l(xiāng):3x-4y+20=0.
于是l:3x-4y+20=0或x=0.
(2)設(shè)Q(x,y)
∵P(0,5),C(-2,6)滿足:
PQ
CQ
,
PQ
=(x,y-5),
CQ
=(x+2,y-6)

∴(x+2)x+(y-6)(y-5)=0,即Q的軌跡方程為:x2+y2+2x-11y+30=0.(軌跡在圓C內(nèi))
點(diǎn)評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查軌跡方程,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線l過P且與⊙O的圓心相距為2,求l的方程;
(2)求過P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4
3
,求l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0.
(1)若直線ι過P且被圓C截得的線段長為4
3
,求ι的方程;
(2)求過P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0,若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段AB長為4
3

(Ⅰ)求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn),求以線段AB為直徑的圓Q方程.

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