已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)為F1、F2，M為雙曲線上一點(diǎn)，若
F1M
•
F2M
=0，且tan∠MF1F2=
1
2
，則雙曲線的離心率為（　�。�
分析：根據(jù)F1F2為圓的直徑，推斷出∠F1MF2為直角，進(jìn)而可推斷出tan∠MF1F2=
|MF2|
|MF1|
，求得|MF1|的關(guān)系|MF2|，設(shè)|MF1|=t，|MF2|=2t．根據(jù)雙曲線的定義求得a，利用勾股定理求得c，則雙曲線的離心率可得．
解答：解：∵
F1M
•
F2M
=0，∴
F1M
⊥
F2M
，∴tan∠MF1F2=
|MF2|
|MF1|
=
1
2
．
設(shè)|MF1|=2t，|MF2|=t，根據(jù)雙曲線的定義可知2a=2t-t=t，a=
1
2
t．
直角三角形MF1F2中，由勾股定理可得 4t2+t2=4c2，
∴c=
5
2
t．
故離心率等于
c
a
=
5
，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，兩個(gè)向量垂直的條件，考查了基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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