Question

1．某廠借嫦娥奔月的東風，推出品牌為“玉兔”的新產品，生產“玉兔”的固定成本為20000元，每生產一件“玉兔”需要增加投入100元，根據(jù)初步測算，總收益滿足函數(shù)$R（x）=\left\{\begin{array}{l}400x-\frac{1}{2}{x^2}，（0≤x≤400）\\ 80000，（x＞400）\end{array}\right.$，其中x是“玉兔”的月產量．
（1）將利潤f（x）表示為月產量x的函數(shù)；
（2）當月產量為何值時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？（總收益=總成本+利潤）

Answer 1

分析 （1）由題意，由總收益=總成本+利潤可知，分0≤x≤400及x＞400求利潤，利用分段函數(shù)表示；
（2）在0≤x≤400及x＞400分別求函數(shù)的最大值或取值范圍，從而確定函數(shù)的最大值．從而得到最大利潤．

解答 解：（1）由題意，
當0≤x≤400時，
f（x）=400x-0.5x²-20000-100x
=300x-0.5x²-20000；
當x＞400時，f（x）=80000-100x-20000
=60000-100x；
故$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000，（0≤x≤400）\\-100x+60000，（x＞400）\end{array}\right.$
（2）當0≤x≤400時，f（x）=300x-0.5x²-20000；
當x=300時，f（x）_max=f（300）=25000（元）
當x＞400時，f（x）_max＜f（400）=20000（元）
∵25000＞20000，∴當x=300時，該廠所獲利潤最大，最大利潤為25000元．

點評 本題考查了分段函數(shù)在實際問題中的應用，屬于中檔題．