Question

已知多項式．
（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值；
（Ⅱ）試探求對一切整數(shù)n，f（n）是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值，直接代入計算即可；
（Ⅱ）先證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．分兩步，其中第二步是關(guān)鍵，利用二項式定理，結(jié)合假設(shè)可證；再證明n=0時，成立；當(dāng)n為負整數(shù)時，令n=-m，則m是正整數(shù)，由n為正整數(shù)時，成立即可．
解答：解：（Ⅰ）f（-1）=

（Ⅱ）（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．
①當(dāng)n=1時，f（1）=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1，k∈N）時，結(jié)論成立，即是整數(shù)，則當(dāng)n=k+1時，=
=f（k）+k⁴+4k³+6k²+4k+1
根據(jù)假設(shè)f（k）是整數(shù)，而k⁴+4k³+6k²+4k+1顯然是整數(shù)．
∴f（k+1）是整數(shù)，從而當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①、②可知對對一切正整數(shù)n，f（n）是整數(shù)．…（7分）
（2）當(dāng)n=0時，f（0）=0是整數(shù)．…（8分）
（3）當(dāng)n為負整數(shù)時，令n=-m，則m是正整數(shù)，由（1）f（m）是整數(shù)，
所以==-f（m）+m⁴是整數(shù)．
綜上，對一切整數(shù)n，f（n）一定是整數(shù)．…（10分）
點評：本題的考點是數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟，關(guān)鍵是第二步，必須利用歸納假設(shè)，同時，本題的證明還應(yīng)注意分類討論．