Question

【題目】給定一個數(shù)列{an}，在這個數(shù)列里，任取m（m≥3，m∈N*）項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列{an}中的先后次序，得到的數(shù)列{an}的一個m階子數(shù)列．
已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an= （n∈N* ， a為常數(shù)），等差數(shù)列a2 ， a3 ， a6是數(shù)列{an}的一個3子階數(shù)列．
（1）求a的值；
（2）等差數(shù)列b1 ， b2 ， …，bm是{an}的一個m（m≥3，m∈N*）階子數(shù)列，且b1= （k為常數(shù)，k∈N* ， k≥2），求證：m≤k+1
（3）等比數(shù)列c1 ， c2 ， …，cm是{an}的一個m（m≥3，m∈N*）階子數(shù)列，求證：c1+c1+…+cm≤2﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a2，a3，a6成等差數(shù)列，

∴a2﹣a3=a3﹣a6．

又∵a2= ，a3= ，a6= ，

代入得 ﹣ = ﹣ ，解得a=0

（2）證明：設(shè)等差數(shù)列b1，b2，…，bm的公差為d．

∵b1= ，∴b2≤ ，

從而d=b2﹣b1≤ ﹣ =﹣ ．

∴bm=b1+（m﹣1）d≤ ﹣ ．

又∵bm＞0，∴ ﹣ ＞0．

即m﹣1＜k+1．

∴m＜k+2．

又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．

（3）證明：設(shè)c1= （t∈N*），等比數(shù)列c1，c2，…，cm的公比為q．

∵c2≤ ，∴q= ≤ ．

從而cn=c1qn﹣1≤ （1≤n≤m，n∈N*）．

∴c1+c2+…+cm≤ + + +…+

= ，

設(shè)函數(shù)f（x）=x﹣ ，（m≥3，m∈N*）．

當(dāng)x∈（0，+∞）時，函數(shù)f（x）=x﹣ 為單調(diào)增函數(shù)．

∵當(dāng)t∈N*，∴1＜ ≤2．∴f（ ）≤2﹣ ．

即 c1+c2+…+cm≤2﹣ ．

【解析】（1）利用等差數(shù)列的定義及其性質(zhì)即可得出；（2）設(shè)等差數(shù)列b1 ， b2 ， …，bm的公差為d．由b1= ，可得b2≤ ，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其不等式的性質(zhì)即可證明；（3）設(shè)c1= （t∈N*），等比數(shù)列c1 ， c2 ， …，cm的公比為q．由c2≤ ，可得q= ≤ ．從而cn=c1qn﹣1≤ （1≤n≤m，n∈N*）．再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的性質(zhì)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列即可以解答此題．