Question

如圖邊長為4的正方形ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點．
（1）求點P到平面ABCD的距離；
（2）求證：PA∥平面MBD；
（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中，Q為AD的中點，△PAD為正三角形，易得PQ⊥AD，又由ABCD所在平面與正△PAD所在平面互相垂直，由面面垂直的性質，可得PQ即為P到平面ABCD的距離，解三角形PAD即可得到答案．
（2）連AC交BD于O，連MO，由三角形的中位線定理，可得PA∥OM，結合線面平行的判定定理，即可得到PA∥平面MBD；
（3）令N為AB中點，結合（1）中結論易得PQ⊥CN，又由正方形ABCD中Q，N分別為AD，AB中點，則CN⊥BQ，結合線面垂直的判定定理，可得CN⊥平面PQB，再由面面平行的判定定理，即可得到結論．

解答：解：（1）正△PAD中，Q為AD的中點
故PQ⊥AD
由

平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩平面ABCD=AD PQ?平面PAD PQ⊥AD

?PQ⊥平面ABCD．（3分）
∵Q∈平面ABCDPQ長為P到平面ABCD的距離．
因為AD=4，
所以PQ=2

3

所以，P平行ABCD的距離為2

3

（5分）
（2）證明：連AC交BD于O，連MO
則ABCD為正方形，
所以O為AC中點，M為PC中點，
所以MO∥AP，（7分）
又AP?平面MBD，MO?平面MBD，
則AP∥平面MBD．（10分）
（3）N為AB中點時，平面PCN⊥平面PQB．（11分）
證明如下：由（1）證明知PQ⊥平面ABCD，又CN?平面ABCD，則PQ⊥CN（12分）
又因為正方形ABCD中Q，N分別為AD，AB中點，則CN⊥BQ（13分）
∴CN⊥平面PQB（14分）
又∵CN?平面PCN
所以，平面PCN⊥平面PQB．（15分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定與性質，直線與平面平行的判定，點到平面的距離，（1）中關鍵是證明PQ⊥平面ABCD，（2）關鍵在面內找到與已知直線平行的直線，（3）中關鍵是要找準N點的位置．