Question

若拋物線y=ax²-1恒有關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，則a的取值范圍是

(

3

4

，+∞)

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．由題意可設(shè)直線AB的方程為：y=x+m，與拋物線方程聯(lián)立，可得△＞0及其根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而可得中點(diǎn)坐標(biāo)表示m，代入△＞0即可．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
由題意可設(shè)直線AB的方程為：y=x+m，聯(lián)立

y=x+m y=ax2-1

，化為ax²-x-m-1=0．
由題意可得△＞0，即1+4a（m+1）＞0．（*）
∴x1+x2=

1

a

，∴x0=

x1+x2

2

=

1

2a

．
∵點(diǎn)M在直線x+y=0上，∴y0=-

1

2a

．
又y₀=x₀+m，
∴m=-

1

2a

-

1

2a

=-

1

a

．代入（*）可得：1+4a(-

1

a

+1)＞0，化為4a＞3，解得a＞

3

4

．
故答案為(

3

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線上關(guān)于已知直線存在對(duì)稱點(diǎn)問轉(zhuǎn)化為判別式及根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率乘積等于-1等是解題的關(guān)鍵．