Question

（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù),
（1）求證:不論為何實(shí)數(shù)在定義域上總為增函數(shù);
（2）確定的值,使為奇函數(shù);
（3）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),求的值域．

Answer 1

(1) 見解析； (2)  
（3）為奇函數(shù)時(shí)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233052105419.png" style="vertical-align:middle;" /> 

（1）先設(shè)x₁＜x₂，欲證明不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x）恒成立，從而求得a值即可．
（3）由（2）知，利用指數(shù)函數(shù)y=2^x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．
(1) 的定義域?yàn)镽, 設(shè)，且,
則=,
, ,
即,所以不論為何實(shí)數(shù)總為增函數(shù)．……………………5分
(2) 為奇函數(shù), ,即,
整理得 ，
則  ，解得:  
……………………10分
（4）由(2)知,
,,

故當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233052105419.png" style="vertical-align:middle;" />……………………14分
另解：由(2)知.
由，得，
當(dāng)時(shí)，得，矛盾，所以；
故有.
當(dāng)時(shí)，，所以，解得.
故當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233052105419.png" style="vertical-align:middle;" />………………14分