Question

2．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+An，若a₂=2，則A=$\frac{1}{2}$，數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知得a₂=S₂-S₁=$\frac{3}{2}+a$=2，從而a=$\frac{1}{2}$，利用${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出a_n=n，從而$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=$\frac{1}{2}{n^2}$+An，a₂=2，
∴a₂=S₂-S₁=（$\frac{1}{2}×4+2a$）-（$\frac{1}{2}×1+a$）=$\frac{3}{2}+a$=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}×1+\frac{1}{2}$=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{1}{2}n$）-[$\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）$]=n，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，∴a_n=n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n項(xiàng)和：
T_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用、裂項(xiàng)求和法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．