Question

設(shè)a_n是函數(shù)f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零點．
（1）證明：0＜a_n＜1；
（2）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先計算f（0）＜0，f（1）＞0，且f（x）在R上的圖象是一條連續(xù)曲線，根據(jù)零點存在定理得f（x）在（0，1）內(nèi)有零點，再根據(jù)其導(dǎo)數(shù)為正，得出f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，f（x）在（0，1）內(nèi)只有一個零點，而a_n是函數(shù)f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零點，從而證明出0＜a_n＜1；
（2）分兩部分進行證明．先證明左邊的不等式，由（1）知0＜a_n＜1，得a_n＞，利用放縮法及裂項法可得a₁+a₂+…+a_n＞1-+-+-+…+=；再證明右邊的不等式，由于a_n=，當(dāng)n≥2時，可得a₁+a₂+…+a_n＜++-+-+…+-=1+-＜．綜上可得．
解答：解：（1）∵f（0）=-1＜0，f（1）=n²＞0，且f（x）在R上的圖象是一條連續(xù)曲線，
∴f（x）在（0，1）內(nèi)有零點，
∵f′（x）=3x²+n²＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，f（x）在（0，1）內(nèi)只有一個零點，
而a_n是函數(shù)f（x）=x³+n²x-1（n∈N⁺）的零點，
∴0＜a_n＜1；
（2）先證明左邊的不等式，因a_n³+n²a_n-1=0，由（1）知0＜a_n＜1，
∴a＜a_n，即1-n²a_n=a＜a_n．
∴a_n＞，∴a₁+a₂+…+a_n＞++…+①
∵a_n＞≥=，
∴a₁+a₂+…+a_n＞1-+-+-+…+=，
再證明右邊的不等式，由于f（）=+-1=-＜0，f（）=＞0，
∴＜a₁＜，
由（1）知，0＜a_n＜1，且a_n³+n²a_n-1=0，
∴a_n=，
∵當(dāng)n≥2時，a₁+a₂+…+a_n＜++-+-+…+-=1+-＜，
∴當(dāng)n∈N^*時，a₁+a₂+…+a_n＜，
綜上，．
點評：本小題主要考查零點、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、數(shù)列與函數(shù)的綜合、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于較難題．