Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x+a，x≥1\\{x^2}+3ax+2{a^2}，x＜1\end{array}\right.$，
①若a=1，f（x）的最小值是-$\frac{1}{4}$；
②若f（x）恰好有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 ①若a=1，分別求出當x≥1時，函數(shù)遞增，可得最小值f（1）；當x＜1時，配方求得最小值，比較即可得到所求最小值；
②若f（x）恰好有2個零點，討論a=0，a＞0，a＜0，再由單調(diào)性和二次方程的根的情況，即可得到所求a的范圍．

解答 解：①若a=1，當x≥1時，f（x）=log₂x+1遞增，可得x=1時，取得最小值1；
當x＜1時，f（x）=x²+3x+2=（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，當x=-$\frac{3}{2}$時，取得最小值-$\frac{1}{4}$．
綜上可得，f（x）的最小值為-$\frac{1}{4}$．
②若f（x）恰好有2個零點，
由f（x）在[1，+∞）遞增，在[1，+∞）內(nèi)最多一個零點，
當a=0時，f（x）=0時，可得x=0，1，滿足題意；
當a＞0時，x≥1時，f（x）≥log₂1+a=a＞0，無零點；
x＜1時，f（x）=（x+a）（x+2a）有兩個零點，即有-a＜1，且-2a＜1，成立；
當a＜0時，x≥1時，f（x）≥log₂1+a=a，有一個零點2^-a；
x＜1時，f（x）=（x+a）（x+2a）恰有一個零點，若為-a，則-a＜1，-2a≥1，且-a≠2^-a，
解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$；
若為-2a，則-2a＜1，-a≥1，且-2a≠2^-a，不成立．
綜上可得，a的范圍是-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或a≥0．
故答案為：-$\frac{1}{4}$，[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[0，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的最值和零點個數(shù)問題的解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．