Question

設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若(15sinA)

PA

+(12sinB)

PB

+(10sinC)

PC

=

0

且

BA

+

BC

=3

BP

則下列正確的命題序號是

①③④

．
①P是△ABC的重心    ②△ABC是銳角三角形  ③△ABC的三邊長有可能是三個連續(xù)的整數(shù)  ④∠C=2∠A．

Answer 1

分析：首先由

BA

+

BC

=3

BP

，取AC中點O，則

BP

=

2

3

BO

，從而P是△ABC的重心，進(jìn)而利用(15sinA)

PA

+(12sinB)

PB

+(10sinC)

PC

=

0

，可得三角形三邊的關(guān)系，從而可以判斷其它命題的正確性．

解答：解：對于①，∵

BA

+

BC

=3

BP

，取AC中點O，則

BP

=

2

3

BO

，∴P是△ABC的重心
由①知，15sinA=12sinB=10sinC，∴15a=12b=10c，不妨設(shè)a=8k，b=10k，c=12k（k＞0），故可知②錯，③正確
對于④，cosC=

1

8

，cosA=

3

4

，∴∠C=2∠A
故答案為：①③④．

點評：本題以向量為載體，考查三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用向量的加法公式，考查正弦定理的運用，有一定的綜合性．