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設P是△ABC所在平面內一點，若(15sinA)
PA
+(12sinB)
PB
+(10sinC)
PC
=
0
且
BA
+
BC
=3
BP
則下列正確的命題序號是
①③④
①③④
．
①P是△ABC的重心    ②△ABC是銳角三角形  ③△ABC的三邊長有可能是三個連續(xù)的整數  ④∠C=2∠A．
分析：首先由
BA
+
BC
=3
BP
，取AC中點O，則
BP
=
2
3
BO
，從而P是△ABC的重心，進而利用(15sinA)
PA
+(12sinB)
PB
+(10sinC)
PC
=
0
，可得三角形三邊的關系，從而可以判斷其它命題的正確性．
解答：解：對于①，∵
BA
+
BC
=3
BP
，取AC中點O，則
BP
=
2
3
BO
，∴P是△ABC的重心
由①知，15sinA=12sinB=10sinC，∴15a=12b=10c，不妨設a=8k，b=10k，c=12k（k＞0），故可知②錯，③正確
對于④，cosC=
1
8
，cosA=
3
4
，∴∠C=2∠A
故答案為：①③④．
點評：本題以向量為載體，考查三角形的性質，關鍵是利用向量的加法公式，考查正弦定理的運用，有一定的綜合性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設P是△ABC所在平面內的一點，
BC
+
BA
=2
BP
，則（　�。�
A、
PA
+
PB
=
0
B、
PC
+
PA
=
0
C、
PB
+
PC
=
0
D、
PA
+
PB
+
PC
=
0

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科目：高中數學 來源： 題型：

設P是△ABC所在平面內的一點，
BC
+
BA
=2
BP
，則
PC
+
PA
=
0
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設P是△ABC所在平面內的一點，
BC
+
BA
=2
BP
，則（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設P是△ABC所在平面內的一點，且
BC
+
BA
=3
BP
，則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設P是△ABC所在平面內的一點，
BC
+
BA
=2
BP
，則（　�。�
A、
PA
+
PB
=
0
B、
PC
+
PB
=
0
C、
PC
+
PA
=
0
D、
PC
+
PA
+
PB
=
0

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