Question

已知圓A：，圓B：，動圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為x=a（a≤）．
（Ⅰ） 求動圓P的圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中點R在l上的射影Q滿足MQ⊥NQ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據雙曲線的定義，可判斷所求軌跡為雙曲線，再利用雙曲線方程的求法求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）（1）設出過點B的直線方程，代入雙曲線方程，用弦長公式求|MN|的長，再求最小值．
（2）由（1）可得，R、Q點的坐標也可用m和a表示，
由MQ⊥NQ，知．從而把a也表示為m的函數，求值域即可得a的范圍；也可設直線方程的點斜式，即設出過B直線的斜率k，代入雙曲線方程，用焦半徑公式求得|MN|，進而用類似思想求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則|PA|=，|PB|=，
∴|PA|-|PB|=2．
故點P的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，
其方程為（x≥1）．
（Ⅱ）（1）設MN的方程為x=my+2，代入雙曲線方程，得（3m²-1）y²+12my+9=0．
由，解得．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則．
當m²=0時，|MN|_min=6．
（2）由（1）知，．
由MQ⊥NQ，知．
所以，從而．
由，得a≤-1．
另解：
（1）若MN的斜率存在，設斜率為k，則直線MN的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．
由解得k²＞3．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MN|=|x₁-x₂|=6+．
當直線斜率不存在時，x₁=x₂=2，得y₁=3，y₂=-3．此時|MN|=6．
所以|MN|_min=6．
（2）當MQ⊥NQ時，|RQ|==x_R-a．①
又==2，即=2，
所以|MN|=4x_R-2，故．②
將②代入①，得|MN|=2-4a．
由|MN|=2-4a≥6，得a≤-1．
點評：本題綜合考查了雙曲線的定義、直線與雙曲線的相交關系，求相交弦的弦長、中點的方法，焦點弦弦長的求法，設而不求方法的運用，解題需要較強的基本功