Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求在的最小值；

（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（3）求證：．

Answer 1

 解：（1），定義域?yàn)?sub>．

 ，   在上是增函數(shù)．

.

（2） 因?yàn)?sub>

因?yàn)槿?sub>存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.

即有的解 

當(dāng)時(shí)，明顯成立 .

②當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下的拋物線，總有的解；

③當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上的拋物線，

即方程有正根.

因?yàn)?sub>，

所以方程有兩正根.

當(dāng)時(shí)，；       

，解得．                              

綜合①②③知：．                                    

（3）（法一）根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，    ．

，

．                                

 (法二)當(dāng)時(shí)，．

，，即時(shí)命題成立．

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即 ．

時(shí)，．

根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即．

令，則有，

則有，即時(shí)命題也成立．

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．