Question

已知函數(shù)．

（1）當時，求在的最小值；

（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（3）求證：．

Answer 1

 解：（1），定義域為．

 ，   在上是增函數(shù)．

.

（2） 因為

因為若存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.

即有的解 

當時，明顯成立 .

②當時，開口向下的拋物線，總有的解；

③當時，開口向上的拋物線，

即方程有正根.

因為，

所以方程有兩正根.

當時，；       

，解得．                              

綜合①②③知：．                                    

（3）（法一）根據(jù)（1）的結論，當時，，即．

令，則有，    ．

，

．                                

 (法二)當時，．

，，即時命題成立．

設當時，命題成立，即 ．

時，．

根據(jù)（1）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．

因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立．