Question

已知二次函數(shù)及函數(shù)，函數(shù)在處取得極值．
（Ⅰ）求所滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得對（Ⅰ）中任意的實(shí)數(shù)，直線與函數(shù)在上的圖像恒有公共點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，，
依題意得：，即，                            ……………4分
代入得
要使在處有極值，則須，即，          
所以所求滿足的關(guān)系式為．         ……………5分
（Ⅱ）由題意得方程在時(shí)總有解，所以
在時(shí)總有解，       ……………6分
設(shè)，則，             ……………7分
①當(dāng)且，時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞減，，，； …8分
②當(dāng)時(shí)，令得：，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，
，，
若，則，，
若，則，；               ………9分
③當(dāng)時(shí)，，在時(shí)單調(diào)遞增，
，，；  ……………10分
設(shè)集合，，
，，
所以要使直線與函數(shù)在上的圖像恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：，所以存在實(shí)數(shù)滿足題意，其取值范圍為．

略