Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．
（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．

Answer 1

解：如圖，以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz；
（Ⅰ）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
則=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，-1，0），
所以•=0，•=0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，
又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依題意，有B（1，0，1），
=（1，0，0），=（-1，2，-1）；
設=（x，y，z）是平面的PBC法向量，
則即，
因此可取=（0，-1，-2）；
設是平面PBQ的法向量，則，
可取=（1，1，1），
所以cos＜，＞=-，
故二面角角Q-BP-C的余弦值為-．
分析：首先根據題意以D為坐標原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz；
（Ⅰ）根據坐標系，求出則、、的坐標，由向量積的運算易得•=0，•=0；進而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得證明；
（Ⅱ）依題意結合坐標系，可得B、、的坐標，進而求出平面的PBC的法向量與平面PBQ法向量，進而求出cos＜，＞，根據二面角與其法向量夾角的關系，可得答案．
點評：本題用向量法解決立體幾何的常見問題，面面垂直的判定與二面角的求法；注意建立坐標系要容易求出點的坐標，頂點一般選在有兩兩垂直的三條直線的交點處，這樣才有助于下一步的計算．