Question

對于a，b∈R，記max{a，b}=

b   a＜b a   a≥b

，若函數(shù)f(x)=max{

1

2

x，|x-1|}，其中x∈R，則f（x）的最小值為______．

Answer 1

由

1

2

x=|x-1|得，3x²-8x+4=0，解得x=

2

3

或2，
當(dāng)x≤

2

3

或x≥2時，|x-1|≥

1

2

x，
當(dāng)

2

3

＜x＜2時，|x-1|＜

1

2

x，
∴由定義得，f(x)=

1 2 x      2 3 ＜x＜2 |x-1|     x≤ 2 3 或x≥2

=

1 2 x      2 3 ＜x＜2 1-x    x≤ 2 3 x-1     x≥2

，
∴f（x）在（-∞，

2

3

）上是減函數(shù)；在（

2

3

，2），（2，+∞）上是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）的最小值為f（

2

3

）=1-

2

3

=

1

3

，
故答案為：

1

3

．