Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DC=2DD₁，E，F(xiàn)分別為棱C₁D₁，BD的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）求證面ADE⊥面BCE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取BC的中點為G，連FG，GC₁，由E，F(xiàn)分別為棱C₁D₁，BD的中點推斷出FG∥DC，且FG=

1

2

DC，EC₁∥DC，且EC1=

1

2

DC，進而可知EC₁∥FG，且EC₁=FG推斷出FGC₁E為平行四邊形，繼而可知EF∥GC₁，利用線面平行的判定定理推斷出EF∥平面BCC₁   
（Ⅱ）由DC=2DD₁，E分別為棱C₁D₁的中點，推斷出D₁D=D₁E，又∠DD₁E=90°，進而可求得∠D₁ED=45°，同理∠C₁EC=45°，進而可知∠DEC=90°．即DE⊥EC，由BC⊥面DC₁，又DE?面DC₁，推斷出BC⊥DE．最后根據(jù)面面垂直的判定定理知面ADE⊥面BCE．

解答： 解：（Ⅰ）取BC的中點為G，連FG，GC₁，
∵E，F(xiàn)分別為棱C₁D₁，BD的中點
∴FG∥DC，且FG=

1

2

DC，EC₁∥DC，且EC1=

1

2

DC，
∴EC₁∥FG，且EC₁=FG
∴FGC₁E為平行四邊形，∴EF∥GC₁   
∵EF⊆平面BCC₁，GC₁⊆平面BCC₁，
∴EF∥平面BCC₁   
（Ⅱ）∵DC=2DD₁，E分別為棱C₁D₁的中點，
∴D₁D=D₁E，
又∵∠DD₁E=90°，
∴∠D₁ED=45°，同理∠C₁EC=45°，
∴∠DEC=90°．即DE⊥EC，
∵BC⊥面DC₁，又∵DE?面DC₁，
∴BC⊥DE．
∵BC∩CE=C，
∴DE⊥面BCE．
∵DE?面ADE，
∴面ADE⊥面BCE．

點評：本題主要考查了面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理的應用．在進行面面垂直的判定過程中，證明線面垂直是關鍵．