Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+（a-x）x²+（5-a）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒為正值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒為正值，其實(shí)就是f（x）的最小值大于0，只需證f（x）_min＞0即可，方法是求出導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)的值，分區(qū)間討論函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值證明它大于0即可求出a的取值范圍．

解答：解：令f′（x）=4x³-3x²+2ax=0，得x=0或4x²-3x+2a=0
當(dāng)x=0時(shí)f（x）=5-a＞0得a＜5；
當(dāng)4x²-3x+2a=0，當(dāng)a≤

9

32

時(shí)即x=

3± 9-32a

8

；當(dāng)a＞

9

32

，方程無解．
當(dāng)x＞

3+ 9-32a

8

或x＜

3- 9-32a

8

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)

3+ 9-32a

8

＞x＞

3- 9-32a

8

時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x⁴+（a-x）x²+（5-a）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒為正值則f（x）_min=f（

3+ 9-32a

8

）＞0；
所以a＜5時(shí)，函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒為正數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及理解分類討論的數(shù)學(xué)思想．