【題目】在四棱錐中,底面
為平行四邊形,
,
,
,
點在底面
內的射影
在線段
上,且
,
,
為
的中點,
在線段
上,且
.
(Ⅰ)當時,證明:平面
平面
;
(Ⅱ)當平面與平面
所成的二面角的正弦值為
時,求四棱錐
的體積.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析:(Ⅰ)接,作
交
于點
,則四邊形
為平行四邊形,在
中由余弦定理得
,由勾股定理可得
,在
中,
,
分別是
,
的中點,結合中位線及平行的傳遞性可得
,故可得
平面
,由線面平行判定定理可得結論;(Ⅱ)以
為坐標原點,
,
,
所在直線分別為
軸,
軸,
軸建立如圖所示的空間直角坐標系,利用空間向量與二面角平面角之間關系可得:
,由棱錐的體積公式可得結果.
試題解析:(Ⅰ)證明:連接,作
交
于點
,則四邊形
為平行四邊形,
,在
中,
,
,
,由余弦定理得
.
所以,從而有
.
在中,
,
分別是
,
的中點,
則,
,
因為,所以
.
由平面
,
平面
,
得,又
,
,
得平面
,又
平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)以為坐標原點,
,
,
所在直線分別為
軸,
軸,
軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則
,
,
,
,
,
.
平面的一個法向量為
.
設平面的法向量為
,
由,
,得
令
,得
.
由題意可得,
,
解得,
所以四棱錐的體積
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知兩點A(2,3)、B(4,1),直線l:x+2y﹣2=0,在直線l上求一點P.
(1)使|PA|+|PB|最��;
(2)使|PA|﹣|PB|最大.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績實行“”的構成模式,第一個“3”是語文、數學、外語,每門滿分150分,第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試,每門滿分100分,高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調查學生對物理、化學、生物的選考情況,將“某市某一屆學生在物理、化學、生物三個科目中至少選考一科的學生”記作學生群體
,從學生群體
中隨機抽取了50名學生進行調查,他們選考物理,化學,生物的科目數及人數統(tǒng)計如下表:
(I)從所調查的50名學生中任選2名,求他們選考物理、化學、生物科目數量不相等的概率;
(II)從所調查的50名學生中任選2名,記表示這2名學生選考物理、化學、生物的科目數量之差的絕對值,求隨機變量
的分布列和數學期望;
(III)將頻率視為概率,現從學生群體中隨機抽取4名學生,記其中恰好選考物理、化學、生物中的兩科目的學生數記作
,求事件“
”的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|< )的圖象與y軸的交點為(
),它在y軸右側的第一個最高點和最低點分別為(x0 , 3),(x0+2π,﹣3).
(1)求函數y=f(x)的解析式;
(2)該函數的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?
(3)求這個函數的單調遞增區(qū)間和對稱中心.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+1)= ,且f(x)在[﹣3,﹣2]上是減函數,若α,β是銳角三角形的兩個內角,則( )
A.f(sinα)>f(sinβ)
B.f(cosα)>f(cosβ)
C.f(sinα)>f(cosβ)
D.f(sinα)<f(cosβ)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為調查某社區(qū)居民的業(yè)余生活狀況,研究這一社區(qū)居民在20:00﹣22:00時間段的休閑方式與性別的關系,隨機調查了該社區(qū)80人,得到下面的數據表:
休閑方式 | 看電視 | 看書 | 合計 |
男 | 10 | 50 | 60 |
女 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 20 | 60 | 80 |
(1)根據以上數據,能否有99%的把握認為“在20:00﹣22:00時間段居民的休閑方式與性別有關系”?
(2)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機調查3名在該社區(qū)的男性,設調查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量X.求X的數學期望和方差.
P(X2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:X2= .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面
為平行四邊形,
,
,
,
點在底面
內的射影
在線段
上,且
,
,M在線段
上,且
.
(Ⅰ)證明: 平面
;
(Ⅱ)在線段AD上確定一點F,使得平面平面PAB,并求三棱錐
的體積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=8,BC=6,AB=2,E,F分別在BC,AD上,EF∥AB,現將四邊形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF⊥平面EFDC.
(1)若BE=3,求幾何體BEC﹣AFD的體積;
(2)求三棱錐A﹣CDF的體積的最大值,并求此時二面角A﹣CD﹣E的正切值.
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