【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ， ， 點在底面內(nèi)的射影在線段上，且， ， 為的中點， 在線段上，且．

（Ⅰ）當(dāng)時，證明：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)平面與平面所成的二面角的正弦值為時，求四棱錐的體積．

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）接，作交于點，則四邊形為平行四邊形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中， ， 分別是， 的中點，結(jié)合中位線及平行的傳遞性可得，故可得平面，由線面平行判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量與二面角平面角之間關(guān)系可得： ，由棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，作交于點，則四邊形為平行四邊形，

，在中， ， ， ，由余弦定理得．　

所以，從而有.

在中， ， 分別是， 的中點，

則， ，

因為，所以.

由平面， 平面，

得，又， ，

得平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， .

平面的一個法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由， ，得令，得.

由題意可得， ，

解得，

所以四棱錐的體積.

練習(xí)冊系列答案
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(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率；

(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名，記表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)將頻率視為概率，現(xiàn)從學(xué)生群體中隨機抽取4名學(xué)生，記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作，求事件“”的概率.

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（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
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休閑方式
性別

看電視

看書

合計

男

10

50

60

女

10

10

20

合計

20

60

80


（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認為“在20：00﹣22：00時間段居民的休閑方式與性別有關(guān)系”？
（2）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查3名在該社區(qū)的男性，設(shè)調(diào)查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機變量X．求X的數(shù)學(xué)期望和方差．

P（X2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

附：X2= ．

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