已知橢圓G的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，它與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D（0，4），若
AC
•
BC
=-3，|
BD
|=2
5
．
（I）求橢圓G的方程；
（II）過點(diǎn)D的直線l交橢圓G于M，N兩點(diǎn)，若∠NMO=90°，求|MN|的長．
分析：（I）由題意，A（-a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，4），利用
AC
•
BC
=-3，|
BD
|=2
5
，建立方程組，即可求得橢圓G的方程；
（II）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)∠NMO=90°，求得直線l的斜率，從而假設(shè)直線l的方程與橢圓G聯(lián)立，再利用弦長公式即可得到結(jié)論．
解答：解：（I）由題意，A（-a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，4）
∵
AC
•
BC
=-3，|
BD
|=2
5

∴
(a，b)•(-a，b)=-3
a2+42
=2
5

∴a2=4，b2=1
∴橢圓G的方程為
x2
4
+y2=1；
（II）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∴
x12+4y12=4
y1-4
x1
×
y1
x1
=-1 
，解得x1=±
2
5
3
， y1=
2
3

∴直線l的斜率為k=±
5

設(shè)直線l的方程為y=±
5
x+4，與橢圓G聯(lián)立
y=±
5
x+4
x2
4
+y2=1
，消元可得21x2±32
5
x+60=0
解得x1+x2=±
32
5
21
，x1x2=
60
21

∴|MN|=
1+k2
×
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+5
×
(±
32
5
21
)2-4×
60
21
=
4
30
21
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理解題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為
3
2
，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓G上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12．圓C：x2+y2+2x-4y-20=0的圓心為點(diǎn)A．
（1）求橢圓G的方程；  
（2）求△AF1F2面積；
（3）求經(jīng)過點(diǎn)（-3，4）且與圓C相切的直線方程；
（4）橢圓G是否在圓C的內(nèi)部，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為
5
3
，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，橢圓G上一點(diǎn)N到F1和F2的距離之和為6．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若∠F1NF2=90°，求△NF1F2的面積；
（3）若過點(diǎn)M（-2，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為
3
2
，且橢圓G上一點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年新疆高考第二次適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓G的方程為，它與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)D（0，4），若．
（I）求橢圓G的方程；
（II）過點(diǎn)D的直線l交橢圓G于M，N兩點(diǎn)，若∠NMO=90°，求|MN|的長．

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