Question

如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一個動點(diǎn)，弦AB，AC分別過焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂．當(dāng)AC垂直于x軸時，恰好|AF₁|：|AF₂|=3：1．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由|AF₁|：|AF₂|=3：1，及橢圓定義|AF₁|+|AF₂|=2a，可求AF₁，AF₂，在在Rt△AF₁F₂中，利用勾股定理可求
（2）由（1）可得b=c．橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直線AC⊥x軸容易求解②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為y=

y0

x0-b

(x-b)代入橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求y2=-

b2y0

3b2-2bx0

，從而可求λ2=

|AF2|

|F2C|

=

y0

-y2

=

3b-2x0

b

，同理可得λ1=

-3b-2x0

-b

=

3b+2x0

b

，代入可求

解答：解：（1）當(dāng)AC垂直于x軸時，|AF₁|：|AF₂|=3：1，由|AF₁|+|AF₂|=2a，
得|AF1|=

3a

2

，|AF2|=

a

2

在Rt△AF₁F₂中，|AF₁|²=|AF₂|²+（2c）²
解得 e=

2

2

．…（5分）
（2）由e=

2

2

，則

b

a

=

a2-c2

a

=

1-e2

=

2

2

，b=c．
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-b，0），F(xiàn)₂（b，0），則橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
化簡有x²+2y²=2b²．
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
①若直線AC⊥x軸，x₀=b，λ₂=1，λ1=

3b+2b

b

=5
∴λ1+λ2=6．   …（8分）
②若直線AC的斜率存在，則直線AC方程為y=

y0

x0-b

(x-b)
代入橢圓方程有（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
由韋達(dá)定理得：y0y2=-

b2y02

3b2-2bx0

，∴y2=-

b2y0

3b2-2bx0

…（10分）
所以λ2=

|AF2|

|F2C|

=

y0

-y2

=

3b-2x0

b

，
同理可得λ1=

-3b-2x0

-b

=

3b+2x0

b

…（12分）
故λ1+λ2=

6b

b

=6．綜上所述：λ1+λ2是定值6．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓得性質(zhì)及橢圓的定義求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交中方程思想的應(yīng)用，這是處理直線與橢圓位置關(guān)系的通法，但要注意基本運(yùn)算的考查