Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，

Sn+1-1

an+Sn

=1，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式； 
（2）設(shè)Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，求證：1≤T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由

Sn+1-1

an+Sn

=1，化為S_n+1-S_n=a_n+1，可得a_n+1-a_n=1，于是數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．利用a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得

a

2 2

=a1a4，(a1+1)2=a1(a1+3)，解得a₁．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出a_n．
（2）由（1）可得Sn=

n(n+1)

2

，于是

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項求和”即可得出T_n．利用T_n的單調(diào)性即可得出1≤T_n＜2．

解答：解：（1）∵

Sn+1-1

an+Sn

=1，∴S_n+1-S_n=a_n+1，化為a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
∵a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，∴

a

2 2

=a1a4，∴(a1+1)2=a1(a1+3)，解得a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵a_n=n，∴Sn=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2．
又2(1-

1

n+1

)隨著n的增大而增大，∴T_n≥T₁=1．
∴1≤T_n＜2．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于難題．