Question

【題目】數(shù)列中，，當(dāng)時，的前項和滿足

（1）求的表達(dá)式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求；

（3）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，使得成等比數(shù)列．

【解析】

（1）根據(jù)與的關(guān)系即可找出與的關(guān)系，構(gòu)造等差數(shù)列， 即可求出的表達(dá)式；

（2）將的表達(dá)式代入求得，再根據(jù)裂項相消法求出，化簡可得 ，由數(shù)列極限的運算法則即可求出；

（3）假設(shè)存在，根據(jù)成等比數(shù)列得到，看是否能解出符合的解即可判斷．

（1）當(dāng)時，，代入，化簡可得，

，所以數(shù)列為等差數(shù)列，即有，

故．

（2）由（1）知，，所以，

，

故．

（3）假設(shè)存在，根據(jù)成等比數(shù)列得到，即，

化簡得，，所以，又因為，解得

，而，，故，代入，解得．

綜上，存在，使得成等比數(shù)列．