已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1. 求證:

(1)a2+b2+c2≥

 (2)≤6

證明略


解析:

(1)證法一:a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)

=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］

=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0  ∴a2+b2+c2≥

證法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2

∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1  ∴a2+b2+c2≥

證法三: ∵∴a2+b2+c2≥

∴a2+b2+c2≥

證法四： 設(shè)a=+α，b=+β，c=+γ.

∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2

=+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2

=+α2+β2+γ2≥

∴a2+b2+c2≥

∴原不等式成立.

證法二：

∴≤＜6

∴原不等式成立.

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