Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b．
（1）若a=1，b=0，求積分

∫

21

 

f(x)

x2

dx；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，且函數(shù)f（x）只有一個零點，求b的取值范圍．
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）上不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=x³-x²+ax+b，a=1，b=0，
∴

∫

21

f(x)

x2

dx
=

∫

21

(x-1+

1

x

)dx
=（

1

2

x2-x+lnx）

|

21

=ln2+

1

2

．
（2）f′（x）=3x²-2x+a，
由f′（1）=1+a=0，解得a=-1．
∴f（x）=x³-x²-x+b，
f′（x）=3x²-2x-1
=3（x-1）（x+

1

3

），
∴當(dāng)x＜-

1

3

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)-

1

3

＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)．
∵f（-

1

3

）=

5

27

+b，f（1）=-1+b，
∴函數(shù)f（x）只有一個零點，
∴

5

27

+b＜0，或-1+b＞0，
解得b的取值范圍是（-∞，-

5

27

）∪（1，+∞）．
（3）∵f′（x）=3x²-2x+a，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，2）上不是單調(diào)函數(shù)，
∴3x²-2x+a=0在R上有兩個不相等的實根，
且在（-2，2）至少有一個根，
∴△=4-12a＞0，解得a＜

1

3

．
由?x∈（-2，2），使得：3x²-2x+a=0，
知a=-3x²+2x，∴-16＜a≤

1

3

，
綜上所述，a的取值范圍是（-16，

1

3

）．