Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x-16．
（1）求曲線y=f（x）在點（2，-6）處的切線的方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；
（3）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=-x+3垂直，求切點坐標與切線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)（2，-6）是曲線上的點，求出曲線方程的導函數(shù)，把x=2代入導函數(shù)中即可求出切線方程的斜率，根據(jù)求出的斜率和已知點的坐標寫出切線方程即可；
（2）設出切線方程的切點坐標，把設出的切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線方程的斜率，根據(jù)設出的切點坐標和表示出的斜率寫出切線方程，把原點代入切線方程中化簡可求出切點的橫坐標，把橫坐標代入曲線方程即可求出切點的縱坐標，且得到切線的斜率，根據(jù)斜率和切點坐標寫出切線的方程即可；
（3）根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出切線方程的斜率為4，設出切點坐標，把切點的橫坐標代入導函數(shù)中表示出切線的斜率，并讓其值等于列出切點橫坐標的方程，求出方程的解即可得到切點的橫坐標，根據(jù)橫坐標求出切點的縱坐標，根據(jù)切點坐標和斜率寫出切線方程即可．
解答：解：（1）可判定點（2，-6）在曲線y=f（x）上．
∵f′（x）=（x³+x-16）′=3x²+1，
∴在點（2，-6）處的切線的斜率為k=f′（2）=13．
∴切線的方程為y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）設切點為（x，y），
則直線l的斜率為f′（x）=3x²+1，
∴直線l的方程為y=（3x²+1）（x-x）+x³+x-16，
又∵直線l過點（0，0），
∴0=（3x²+1）（-x）+x³+x-16，
整理得，x³=-8，
∴x=-2，
∴y=（-2）³+（-2）-16=-26，
k=3×（-2）²+1=13．
∴直線l的方程為y=13x，切點坐標為（-2，-26）．
（3）∵切線與直線y=-+3垂直，
∴切線的斜率k=4．
設切點的坐標為（x，y），則f′（x）=3x²+1=4，
∴x=±1，
∴或
切線方程為y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．
點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，是一道綜合題．