Question

某公司是一家專做產(chǎn)品A的銷售企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售后40天內(nèi)全部售完．該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：市場(chǎng)的每天銷售量（單位：百件）與上市時(shí)間f（單位：天）的關(guān)系是一條折線（如圖①），每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)（單位：元/件）與上市時(shí)間t（單位：天）的關(guān)系也是一條折線（如圖②）．

（Ⅰ）寫出市場(chǎng)每天的銷售量f（x）與產(chǎn)品A上市時(shí)間t的關(guān)系式（不需求解過(guò)程）；
（11）第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤(rùn)超過(guò)3 000（百元）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t，每件銷售利潤(rùn)p與上市時(shí)間t這兩個(gè)函數(shù)都為分段函數(shù)，當(dāng)t≤30時(shí)，設(shè)一次函數(shù)為y=kt，將點(diǎn)（30，60）代入可將此函數(shù)關(guān)系式表示出來(lái)；當(dāng)30＜t≤40時(shí)，設(shè)一次函數(shù)為y=k₁t+b，將點(diǎn)（30，60），（40，0）代入進(jìn)行求解，可將日銷售量與上市時(shí)間t的關(guān)系式寫出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，日銷售量與上市時(shí)間t的關(guān)系式，同理可求出銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

解答：解：（Ⅰ）由圖①可得，
當(dāng)0≤t≤30時(shí)，設(shè)市場(chǎng)的日銷售量y=kt，
∵點(diǎn)（30，60）在圖象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
當(dāng)30＜t≤40時(shí)，設(shè)市場(chǎng)的日銷售量y=k₁t+b，
∵點(diǎn)（30，60）和（40，0）在圖象上，
∴60=30k₁+b且0=40k₁+b，
解得k₁=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
綜上可知，日銷售量與上市時(shí)間t的關(guān)系式為f(t)=

2t                  0≤t≤30 -6t+240    30＜t≤40

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(t)=

2t                  0≤t≤30 -6t+240    30＜t≤40

，
由圖②可得：每件產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)為g(t)=

3t      0≤t≤20 60    20＜t≤40

，
則這家公司的日銷售利潤(rùn)L（t）=f（t）•g(t)=

6t2                  0≤t≤20 120t                  20＜t≤30 -360t+14400    30＜t≤40

當(dāng)0≤t≤20時(shí)，L（t）=6t²，此時(shí)利潤(rùn)的最大值是L（20）=2400＜3000；
當(dāng)20＜t≤30時(shí)，L（t）=120t，令120t＞3000，解得：25＜t≤30；
當(dāng)30＜t≤40時(shí)，L（t）=-360t+14400，令-360t+14400＞3000，解得：30＜t＜

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；
故第一批產(chǎn)品A上市后的第26，27，28，29，30，31天，這家公司的日銷售利潤(rùn)超過(guò)3 000（百元）
答：（Ⅰ）日銷售量與上市時(shí)間t的關(guān)系式為f(t)=

2t                  0≤t≤30 -6t+240    30＜t≤40

．
（Ⅱ）第一批產(chǎn)品A上市后的第26，27，28，29，30，31天，這家公司的日銷售利潤(rùn)超過(guò)3 000（百元）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度不大，注意所求函數(shù)是分段函數(shù)，要分段討論．