Question

已知xy＞0，則|x+

1

2y

|+|y+

1

2x

|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：因為原式帶有絕對值，所以首先應(yīng)分x＞0，y＞0和x＜0，y＜0兩種情況討論，去絕對值，然后重新分組，湊成x+

1

2x

，y+

1

2y

的形式，最后應(yīng)用均值不等式求解．

解答：解：∵xy＞0，
∴①當(dāng)x＞0，y＞0時，原式=x+

1

2x

+y+

1

2y

≥2

1 2

+2

1 2

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2x

，y=

1

2y

，即x=y=

2

2

時取等號；
②當(dāng)x＜0，y＜0時，原式=-x-

1

2x

-y-

1

2y

≥2

1 2

+2

1 2

=2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)-x=-

1

2x

，-y=-

1

2y

，即x=y=-

2

2

時取等號；
綜上，|x+

1

2y

|+|y+

1

2x

|的最小值為2

2

．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識點，運用了分類討論思想，是高考考查的重點內(nèi)容．