Question

如圖，以棱長為a的正方體的三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上．
（1）當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究PQ的最小值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)時(shí)，探究PQ的最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得P（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），設(shè)Q（0，a，m）（0≤m≤a），由空間兩點(diǎn)之間的距離公式，可得PQ=

1 2 a2+( 1 2 a-m)2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)加以研究，可得當(dāng)且僅當(dāng)Q為CD的中點(diǎn)時(shí)PQ有最小值

2

2

a；
（2）根據(jù)題意，得Q（0，a，

1

2

a），設(shè)P（n，n，a-n）（0≤n≤a），由空間兩點(diǎn)之間的距離公式，可得PQ=

3(n- 1 2 a)2+ 1 2 a2

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)加以研究，可得當(dāng)且僅當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，PQ的最小值為

2

2

a；
（3）設(shè)P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a），可得PQ關(guān)于λ、μ的表達(dá)式，用與（1）（2）類似的方法加以研究，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)且僅當(dāng)P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ的最小值為

2

2

a．

解答：解：∵正方體的棱長為a，∴A（a，a，0），B（0，0，a），C（0，a，0），D（0，a，a）
可得AB的中點(diǎn)為（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），CD中點(diǎn)為（0，a，

1

2

a）
（1）當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
可得P（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），設(shè)Q（0，a，m）（0≤m≤a）
∴PQ=

( 1 2 a-0)2+( 1 2 a-a)2+( 1 2 a-m)2

=

1 2 a2+( 1 2 a-m)2

≥

1 2 a2+( 1 2 a- 1 2 a)2

=

2

2

a
當(dāng)且僅當(dāng)m=

1

2

a時(shí)，即Q為CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ的最小值為

2

2

a；
（2）當(dāng)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)時(shí)，
可得Q（0，a，

1

2

a），設(shè)P（n，n，a-n），（0≤n≤a）
PQ=

(0-n)2+(a-n)2+( 1 2 a-a+n)2

=

3(n- 1 2 a)2+ 1 2 a2

≥

3( 1 2 a- 1 2 a)2+ 1 2 a2

=

2

2

a
當(dāng)且僅當(dāng)n=

1

2

a時(shí)，即P為AB的中點(diǎn)時(shí)，PQ的最小值為

2

2

a；
（3）設(shè)P（λ，λ，a-λ），Q（0，a，μ）（0≤λ≤a且0≤μ≤a）
可得PQ=

λ2+(λ-a)2+(a-λ-μ)2

=

2(λ- a 2 )2+(a-λ-μ)2+ 1 2 a2

∵2（λ-

a

2

）²≥0，（a-λ-μ）²≥0，
∴2（λ-

a

2

）²+（a-λ-μ）²+

1

2

a2≥

1

2

a2，當(dāng)且僅當(dāng)λ-

a

2

=a-λ-μ=0時(shí)，等號(hào)成立
此時(shí)λ=μ=

1

2

a，所以當(dāng)且僅當(dāng)P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ的最小值為

2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題在正方體中求兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值，著重考查了空間兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方體中的距離探索等知識(shí)，屬于中檔題．