Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）
（Ⅰ）證明：是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅲ）若對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：，
所以是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，所以．
（Ⅲ）若恒成立，即恒成立，整理得：．
令，
則可得 ．
因為n≥2，所以 ＞0，即{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c₂最小，，
所以λ的取值范圍為．
分析：（Ⅰ）將已知條件整理得：，由此求得是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，由此求得數(shù)列{a_n}的通項．
（Ⅲ）由條件可得，利用數(shù)列的單調(diào)性可得{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c₂最小，，
由此求得λ的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，數(shù)列與不等式的綜合，屬于難題．