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在實數集R上的函數f(x)如果滿足：對任意x1，x2∈R，都有，則稱f(x)為R上的凹函數．已知二次函數f(x)＝ax2＋x(a∈R且a≠0)，(1)求證：a＞0時，函數f(x)為凹函數；(2)如果x∈(0，1]時，|f(x)|≤1恒成立，試求實數a的取值范圍．

答案：
解析：

　　(1)證明：

　　，，有

　　

　　

　　故函數為R上的凹函數

　　(2)恒成立，

　　恒成立．

　　時恒成立．

　　時取得最小值0，，故


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在實數集R上的函數f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是實數．
（1）若函數f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區(qū)間（-1，3）上是減函數，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數f（x）的表達式；
（2）若a，b，c滿足b2-3ac＜0，求證：函數f（x）是單調函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱
g（x）為函數f（x）的一個承托函數．以下說法
（1）函數f（x）=x2-2x不存在承托函數；
（2）函數f（x）=x3-3x不存在承托函數；
（3）函數f(x)=
2x
x2-x+1
不存在承托函數；
（4）g（x）=1為函數f（x）=x4-2x3+x2+1的一個承托函數；
（5）g（x）=x為函數f（x）=ex-1的一個承托函數．
中正確的個數為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．
下列說法正確的有：
①②
①②
．（寫出所有正確說法的序號）
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②g（x）=ex為函數f（x）=ex的一個承托函數；
③函數f(x)=
x
x2+x+1
不存在承托函數；
④函數f(x)=
1
5x2-4x+11
，若函數g（x）的圖象恰為f（x）在點p(1，
1
2
)處的切線，則g（x）為函數f（x）的一個承托函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集R上的函數f(x)=
1
3
x3+
1
2
(a-4)x2+2(2-a)x+a與y軸的交點為A，點A到原點的距離不大于1；
（1）求a的范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，使對任意a，f（x）在該區(qū)間上為增函數？若存在，求出該區(qū)間，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（x）•f（x+2）=6，若f（3）=2，則f（2013）的值為
3
3
．

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