Question

已知直線mx+ny=2，（m＞0，n＞0）平分圓x²+y²-2x-4y+4=0的周長，則

1

m

+

2

n

取最小值時，雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1的離心率為

2

．

Answer 1

分析：由題意直線經(jīng)過圓心，可得m+2n=2．利用基本不等式可得

1

m

+

2

n

=

1

2

(m+2n)(

1

m

+

2

n

)=

1

2

(5+

2n

m

+

2m

n

)≥

1

2

(5+2×2

n m • m n

)，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

3

時取等號．可知雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1為等軸雙曲線，即可得到離心率．

解答：解：∵直線mx+ny=2，（m＞0，n＞0）平分圓x²+y²-2x-4y+4=0的周長，∴直線經(jīng)過圓心，
∴m+2n=2．
∴

1

m

+

2

n

=

1

2

(m+2n)(

1

m

+

2

n

)=

1

2

(5+

2n

m

+

2m

n

)≥

1

2

(5+2×2

n m • m n

)=

1

2

(5+4)=

9

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

3

時取等號．
∴雙曲線

x2

m2

-

y2

n2

=1的離心率e=

2

（等軸雙曲線）．
故答案為

2

．

點評：熟練掌握直線與圓的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、等軸雙曲線等是解題的關(guān)鍵．