Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0（n∈N^*+）且a₃+

1

32

是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求證：T_n＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）對(duì)已知遞推公式變形整理可得即

an+1

an

=

1

2

，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及a₃+

1

32

是a₂，a₄的等差中項(xiàng)可求a₂，進(jìn)而可求a_n
由已知可得，b₁=s₁n≥2時(shí)，b_n=s_n-s_n-1可求b_n
（2）利用裂項(xiàng)求和即可求解T_n，即可證明不等式成立

解答：（1）解：∵2a²_n+1+3a_n+1a_n-2a²_n=0
即（2a_n+1-a_n）（a_n+1+2a_n）=0
∵a_n＞0
∴2a_n+1-a_n=0即

an+1

an

=

1

2

數(shù)列{a_n}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∵a₃+

1

32

是a₂，a₄的等差中項(xiàng)
∴

1

16

+2a₃=a₂+a₄
∴

1

16

+2a2×

1

2

=a2+a2×

1

4

∴a2=

1

4

，an=a2•(

1

2

)n-2=

1

4

•(

1

2

)n-2=(

1

2

)n
∵S_n=n²，
∴b₁=s₁=1
n≥2時(shí)，b_n=s_n-s_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
當(dāng)n=1時(shí)，適合上式
∴b_n=2n-1
（2）由（1）可得，T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解通項(xiàng)公式，及利用數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推公式求解通項(xiàng)，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用等知識(shí)的綜合考查運(yùn)用