Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分別為PC、CD的中點；PA=kAB（k＞0），且二面角E-BD-C的平面角大于30°，則k的取值范圍是（　�。�

• A．k＞

  2 15

  15

• B．k＞

  2 15

  5

• C．0＜k＜

  2 15

  15

• D．0＜k＜

  2 15

  5

Answer 1

分析：建立如圖所示空間直角坐標系，設AB的長為1，算出

BD

、

BE

的坐標．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出

n

=（2，1，-

2

k

）是平面EDB的一個法向量且平面CDB的一個法向量為

m

=（0，0，1），算出＜

m

，

n

＞的余弦之值，結(jié)合題意建立關(guān)于k的不等式，解之即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：以A為原點，以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，
設AB的長為1，則

BD

=（-1，2，0），

BE

=（0，1，

k

2

）
平面CDB的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面EDB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BD =-x+2y=0 n • BE =y+ 1 2 kz=0

，取y=1，可得

n

=（2，1，-

2

k

），
設二面角E-BD-C的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|═

2 k

4+1+ 4 k2

＜

3

2

化簡得k²＞

4

15

，所以k＞

2 15

15

．

點評：本題給出二面角的平面角的范圍，求實數(shù)k的范圍．著重考查了空間向量的夾角公式和利用空間直角坐標系研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．