Question

如圖，線段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在x軸、y 軸上滑動(dòng)，|MN|=5，點(diǎn)P是線段MN上一點(diǎn)，且

MP

=

2

3

PN

，點(diǎn)P隨線段MN的運(yùn)動(dòng)而變化．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)

OS

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）用消參法求軌跡方程，可先設(shè)出M，N，P點(diǎn)的坐標(biāo)，用M，N點(diǎn)的坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，再消掉參數(shù)即可．
（2）先假設(shè)存在直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線相等，四邊形OASB為矩形，OA⊥OB，再設(shè)出l的方程，與（1）中所求橢圓方程聯(lián)立，得到x₁x₂，y₁y₂的表達(dá)式，根據(jù)OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，求k，若能求出，則存在，否則，不存在．

解答：解：（1）設(shè)M（x₀，0），N（0，y₀），P（x，y） 因?yàn)閨MN|=5，所以x₀²+y₀²=25（*）
又點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，且|MP|=2，所以P分

MN

所成的比為

2

3

∴

x= x0+ 2 3 ×0 1+ 2 3 = 3 5 x0 y= 0+ 2 3 ×y0 1+ 2 3 = 2 5 y0

∴

x0= 5 3 x y0= 5 2 y

將其代入（*）得

x2

9

+

y2

4

=1即為所求的方程
（2）

OS

=

OA

+

OB

，所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得|

OS

|=|

AB

|，則四邊形OASB為矩形
∴

OA

•

OB

=0若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由

x=2 x2 9 + y2 4 =1

得

x=2 y=± 2 5 3

∴

OA

•

OB

=

16

9

＞0，與

OA

•

OB

=0矛盾，故l的斜率存在．
設(shè)l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由

y=k(x-2) x2 9 + y2 4 =1

⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0
∴x1+x2=

36k2

9k2+4

，x1x2=

36(k2-1)

9k2+4

①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-

20k2

9k2+4

②
把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±

3

2

∴存在直線l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對(duì)角線相等

點(diǎn)評(píng)：本題考查了消參法求軌跡方程，以及存在性問題的求法，做題時(shí)要積極思考，找到解決方法．