Question

（2007•長寧區(qū)一模）定義：若數(shù)列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數(shù)列{A_n}為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象上，其中n為正整數(shù)．
（1）判斷數(shù)列{a_n+2}是否為“平方遞推數(shù)列”？說明理由．
（2）證明數(shù)列{lg（a_n+2）}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項．
（3）設T_n=（2+a₁）（2+a₂）…（2+a_n），求T_n關于n的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據點（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+4x+2的圖象上，可以得到數(shù)列{a_n}的遞推關系式，再應用完全平方公式，就可得到數(shù)列{a_n+2}的遞推關系式，根據數(shù)列{a_n+2}的遞推關系式，可判斷是否為“平方遞推數(shù)列”．
（2）欲證明數(shù)列{lg（a_n+2）}為等比數(shù)列，只需證明此數(shù)列的后一項與前一項的比是常數(shù)，由（1）所得
a_n+1+2=（a_n+2）²，兩邊取常用對數(shù)，即可證明．再利用等比數(shù)列通項公式求出數(shù)列{lg（a_n+2）}的通項公式，進而得到數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）由（2）可求數(shù)列{lg（a_n+2）}的通項公式，求出數(shù)列{lg（a_n+2）}的前n項和，再借助對數(shù)函數(shù)的運算律，求出lgT_n，把等式兩邊的對數(shù)符號去掉，即可得到T_n關于n的表達式．

解答：解：（1）由條件得：a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=a_n²+4a_n+4=（a_n+2）²，∴{a_n+2}是“平方遞推數(shù)列”．
（2）由（1）得lg(an+1+2)=2lg(an+2)∴

lg(an+1+2)

lg(an+2)

=2，
∴{lg（a_n+2）}為等比數(shù)列．                                         
∵lg（a₁+2）=lg4，∴l(xiāng)g（a_n+2）=lg4•2^n-1，∴an+2=42n-1
∴an=42n-1-2．                                     
（3）∵lgTn=lg(a1+2)+lg(a2+2)+…+lg(an+2)=

lg4•(1-2n)

1-2

=(2n-1)lg4，
∴Tn=42n-1．

點評：本題主要考查了構造法判斷數(shù)列的性質以及求數(shù)列的通項公式，求和．屬于數(shù)列的綜合題．