Question

已知直線(xiàn)l：y=ax+1-a（a∈R），若存在實(shí)數(shù)a使得一條曲線(xiàn)與直線(xiàn)l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度恰好等于|a|，則稱(chēng)此曲線(xiàn)為直線(xiàn)l的“絕對(duì)曲線(xiàn)”．下面給出的三條曲線(xiàn)方程：
①y=-2|x-1|；
②（x-1）²+（y-1）²=1；
③x²+3y²=4．
其中直線(xiàn)l的“絕對(duì)曲線(xiàn)”有

 

．（填寫(xiě)全部正確選項(xiàng)的序號(hào)）

Answer 1

分析：題目給出的是新定義題，給出的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（1，1），對(duì)于曲線(xiàn)y=-2|x-1|，通過(guò)分析其圖象可知，直線(xiàn)l與該曲線(xiàn)不可能相交于兩點(diǎn)，不符合新定義；對(duì)于曲線(xiàn)②（x-1）²+（y-1）²=1，直線(xiàn)l過(guò)該圓的圓心，所以a=±2時(shí)滿(mǎn)足新定義；對(duì)于
曲線(xiàn)x²+3y²=4，假設(shè)該曲線(xiàn)是直線(xiàn)l的“絕對(duì)曲線(xiàn)”，把直線(xiàn)和其聯(lián)立后看滿(mǎn)足弦長(zhǎng)等于a的值是否存在，由弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于a的方程，方程是高次方程，可以不求解，看方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在即可，利用根的存在性定理加以判斷．

解答：解：由y=ax+1-a=a（x-1）+1，可知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（1，1）．
對(duì)于①，y=-2|x-1|=

-2x+2，x≥1 2x-2，x＜1

，圖象是頂點(diǎn)為（1，0）的倒V型，而直線(xiàn)l過(guò)頂點(diǎn)A（1，1）．
所以直線(xiàn)l不會(huì)與曲線(xiàn)y=-2|x-1|有兩個(gè)交點(diǎn)，不是直線(xiàn)l的“絕對(duì)曲線(xiàn)”；
對(duì)于②，（x-1）²+（y-1）²=1是以A為圓心，半徑為1的圓，
所以直線(xiàn)l與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)，且距離為直徑2，所以存在a=±2，使得圓（x-1）²+（y-1）²=1與直線(xiàn)l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度恰好等于|a|．
所以圓（x-1）²+（y-1）²=1是直線(xiàn)l的“絕對(duì)曲線(xiàn)”；
對(duì)于③，將y=ax+1-a代入x²+3y²=4，
得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0．
x1+x2=

6a(1-a)

3a2+1

，x1x2=

3(1-a)2-4

3a2+1

．
若直線(xiàn)l被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度是|a|，
則a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(ax1+1-a-ax2-1+a)2
=(a2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(a2+1)[

36a2(1-a)2

(3a2+1)2

-4

3(1-a)2-4

3a2+1

]．
化簡(jiǎn)得

a2

a2+1

=(

6a+2

3a2+1

)2．
令f（a）=

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2．
f（1）=

1

2

-22=-

7

2

＜0，f（3）=

9

10

-(

5

7

)2=

191

490

＞0．
所以函數(shù)f（a）在（1，3）上存在零點(diǎn)，即方程

a2

a2+1

=(

6a+2

3a2+1

)2有根．
而直線(xiàn)過(guò)橢圓上的定點(diǎn)（1，1），當(dāng)a∈（1，3）時(shí)滿(mǎn)足直線(xiàn)與橢圓相交．
故曲線(xiàn)x²+3y²=4是直線(xiàn)的“絕對(duì)曲線(xiàn)”．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及運(yùn)算能力，特別是對(duì)③的判斷，能夠考查學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力，是有一定難度題目．